Bagaimana Kita Bisa Tahu Ada Tak Terhingga Banyaknya Bilangan Prima?

Oleh: Hendra Gunawan* (Matematikawan)

Adik-adik sudah tahu bilangan prima ya.. Bilangan prima adalah bilangan asli selain 1 yang tidak dapat dibagi oleh bilangan lain selain oleh 1 dan oleh bilangan itu sendiri. Sebagai contoh, bilangan-bilangan 2, 3, 5, 7, 11, 13, adalah bilangan prima; sedangkan bilangan-bilangan 4, 6, 8, 9, 10, 12, bukan bilangan prima.

Bilangan asli selain 1 yang bukan bilangan prima disebut sebagai bilangan komposit. Sebagai contoh, 10 merupakan bilangan komposit, karena 10 dapat dibagi oleh 2 dan 5, selain oleh 1 dan 10 sendiri.

Lalu, ada berapa banyak bilangan prima itu? Jawabannya adalah tak terhingga. Bagaimana kita bisa tahu ada tak terhingga banyaknya bilangan prima? Hmm… sebetulnya ini agak di luar jangkauan Adik-adik. Tetapi baiklah Kakak akan memberikan sedikit gambaran, bagaimana kita bisa sampai pada kesimpulan tersebut.

[Dalam matematika, kebenaran suatu pernyataan dibuktikan dengan menggunakan logika matematika dan kebenaran yang telah diterima sebelumnya (termasuk arti dari suatu kata atau istilah). Bila Adik-adik masih kesulitan memahami penjelasan di bawah ini, jangan khawatir. Baca lagi jawaban ini setelah Adik-adik besar nanti.]

Misalkan kita memeriksa setiap bilangan asli selain 1, mulai dari 2, 3, 4, dan seterusnya, apakah ia merupakan bilangan prima atau bilangan komposit. Kita sediakan dua buku untuk mencatat hasil pemeriksaan kita. Jika bilangan yang sedang kita periksa adalah bilangan prima, maka kita tulis bilangan tersebut di Buku I; jika bukan, kita tulis bilangan tersebut di Buku II. Jadi, 2, 3, 5, 7, 11, dan 13 akan tercatat di Buku I, sedangkan 4, 6, 8, 10, dan 12 akan tercatat di Buku II.

Apakah pencatatan bilangan prima di Buku I akan berhenti, setelah kita mendapatkan suatu bilangan prima tertentu? Jawabannya tidak; setelah kita mendapatkan bilangan-bilangan prima 2, 3, 5, 7, 11, 13, …, sampai dengan p (entah berapa p tersebut), kita akan masih akan menemukan bilangan prima yang lebih besar daripada p.

Bagaimana kita mengetahuinya? Begini penjelasannya: misalkan m = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × … × p) + 1. Bilangan m adalah bilangan asli yang lebih besar daripada p. Apakah m merupakan bilangan prima atau bilangan komposit? Jika ia merupakan bilangan prima, maka kita telah menemukan bilangan prima yang lebih besar daripada p, yaitu bilangan m tersebut. Jika ia merupakan bilangan komposit, maka — sesuai dengan arti bilangan komposit — m habis dibagi oleh suatu bilangan prima yang lebih kecil daripadanya, sebutlah q. Tetapi m tidak habis dibagi oleh 2, 3, 5, 7, 11, 13, … , dan p (karena jika m dibagi dengan bilangan-bilangan prima ini, maka akan diperoleh sisa 1). Kalau begitu q mestilah suatu bilangan prima yang lebih besar daripada p. Jadi, seperti kasus sebelumnya, kita akan menemukan suatu bilangan prima yang lebih besar daripada p.

Dengan argumentasi di atas, daftar bilangan prima di Buku I tidak akan berhenti. Dengan perkataan lain, banyaknya bilangan prima itu tak terhingga.

Sumber gambar: http://www.armenpogharian.com

*Hendra Gunawan telah menjadi dosen Matematika di FMIPA ITB sejak 1988. Ia mendapatkan gelar doktor dalam bidang Matematika dari UNSW Australia pada tahun 1992. Selain mengajar, ia sering memberi pelatihan pada guru, dan sejak 2013 ia juga meluangkan waktunya bagi anak-anak melalui situs anakbertanya.com ini.