Apa Kegunaan Kelipatan Persekutuan Terkecil dan Faktor Persekutuan Terbesar?

Oleh: Intan Muchtadi-Alamsyah* (Matematikawan)

Adik-adik, kita belajar FPB sebagai faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan bulat positif. Sebagai contoh, 20 dan 24 memiliki faktor persekutuan 1, 2 dan 4, dan yang paling besar tentunya adalah 4. Sedangkan KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat positif. Sebagai contoh, 20 dan 24 memiliki kelipatan persekutuan 120, 240, 360, dan yang paling kecil tentunya adalah 120.

Nah, FPB dan KPK ini untuk apa? Kita bahas KPK dulu ya. Contoh penggunaan dalam hidup sehari-hari yang paling seru digambarkan dalam film “Father of The Bride”, film tahun 1991 yang dibintangi oleh Steve Martin. Cuplikannya bisa dilihat di sini: https://www.youtube.com/watch?v=oYIHLUxzRr8.

Ceritanya, seorang ayah ingin membeli roti hotdog dan sosis di supermarket. Namun roti hotdog tersedia dalam 1 pak berisi 12 dan sosisnya dalam 1 pak berisi 8. Sang ayah tersebut mengeluarkan 4 buah roti dari pak atau kantongnya karena ia tidak ingin membeli roti berlebih. Tentu saja pegawai supermarket marah dan ia pun diusir dari supermarket.

Dengan mengetahui KPK, kita bisa menentukan berapa pak roti dan sosis yang perlu ia beli. KPK dari 12 dan 8 adalah 24, jadi dengan membeli 2 pak roti dan 3 pak sosis ia akan memperoleh 24 buah hotdog untuk keluarganya.

Kegunaan KPK yang lain, bisa untuk menentukan jadwal liburan juga loh. Misalnya Ani bekerja 3 hari lalu hari ke-4 libur, Beti bekerja 4 hari dan hari ke-5 libur, sedangkan Chicha bekerja 5 hari lalu hari ke-6 libur. Di hari ke berapa mereka bisa pergi bersama pada saat mereka bertiga sama-sama libur? Jawabnya adalah KPK dari 4, 5 dan 6, yaitu hari ke-60.

KPK juga bisa digunakan untuk menghitung orbit planet. Adik-adik tahu kan, Bumi, Jupiter, Saturnus, dan Uranus mengelilingi Matahari. Untuk melakukan 1 putaran penuh, Bumi memerlukan 1 tahun, Jupiter 12 tahun, Saturnus 30 tahun, dan Uranus 84 tahun. Malam-malam kita pandangi langit dan merenung kapan mereka akan berada di posisi yang sama. Untuk itu kita bisa pakai KPK. Nah, KPK dari 12 dan 30 adalah 60, dan KPK dari 12, 30 dan 84 adalah 420. Jadi setiap 60 tahun Jupiter dan Saturnus berada di posisi yang sama, dan setiap 420 tahun Jupiter, Saturnus dan Uranus berada di posisi yang sama.

Bagaimana dengan FPB? Seringkali kita gunakan FPB untuk menyederhanakan pecahan. Misalnya saja, dengan mengetahui bahwa FPB dari 15 dan 25 adalah 5, kita sederhanakan 15/25 menjadi 3/5.

Contoh lainnya, misalnya untuk pesta ulang tahunnya, Ani ingin dalam tiap goody bag berisi coklat, permen, dan mainan. Misalkan terdapat 32 batang coklat, 24 permen, dan 16 mainan. Supaya setiap goody bag berisi coklat, permen, dan mainan yang sama banyaknya, dan tidak ada coklat, permen, ataupun mainan yang tersisa, paling banyak berapa goody bag yang dapat dibuat?

Karena FPB dari 32, 24 dan 16 adalah 8, maka dapat dibuat paling banyak 8 goody bag yang masing-masing berisi 4 batang coklat, 3 permen, dan 2 mainan.

Ternyata, tukang jahit juga bisa menggunakan FPB loh. Misalnya seorang tukang jahit bernama Pak Ali mempunyai 1 lembar kain berwarna merah sepanjang 12 meter dan 1 lembar kain berwarna biru sepanjang 8 meter. Untuk mendapatkan potongan kain merah dan biru dengan panjang sama, berapa potong kain merah dan biru dengan panjang terbesar yang akan didapatkan Pak Ali?

Karena FPB dari 12 dan 8 adalah 4, maka panjang terbesar dari kain merah dan biru dengan panjang sama adalah 4 meter. Pak Ali akan mendapatkan 3 potong kain merah dan 2 potong kain biru dengan panjang masing-masing 4 meter.

Dalam matematika lanjut, ada konsep fungsi Euler f(n) yang diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1763. Fungsi Euler f(n) menghitung banyaknya bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan n yang FPB-nya dengan n adalah 1. Sebagai contoh f(5) = 4, f(6) = 2. Fungsi Euler dan konsep FPB digunakan dalam kriptografi RSA, yaitu suatu sistem kriptografi, untuk pengiriman pesan rahasia menggunakan bilangan-bilangan bulat. Sistem kriptografi RSA ini tergolong cukup aman. Dan dalam kehidupan sehari-hari RSA digunakan dimana? Ternyata salah satunya untuk mengamankan email kita.

Bagaimana dengan penggunaan FPB dan KPK sekaligus? Adik-adik tahu tidak kalau FPB dan KPK dari dua bilangan dikalikan jadi apa? FPB dari 20 dan 24 adalah 4, dan KPK-nya 120, 4 dikalikan 120 jadi 480. Dan 20 x 24 juga 480. Ternyata FPB(20,24) x KPK(20,24) = 20 x 24. Jadi FPB dan KPK bisa digunakan juga untuk mengalikan bilangan!

Sebagai contoh: berapa 15 x 24? FPB dari 15 dan 24 adalah 3, KPK-nya 120, jadi 15 x 24 = 360. Nah, ternyata banyak ya penggunaan FPB dan KPK!

Sumber gambar: http://www.themathpage.com

*Intan Muchtadi-Alamsyah adalah seorang matematikawan dan telah menjadi dosen di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam ITB sejak 1998. Ia mendapat gelar doktor dalam bidang Aljabar dari University of Picardie, Perancis, pada tahun 2004.