Apa Itu Golden Ratio?

Oleh: Hendra Gunawan* (Matematikawan)

Istilah Golden Ratio atau Rasio Emas pertama kali muncul dalam buku Die reine Elementar-Mathematik (Matematika Dasar Murni) karangan Martin Ohm, yang diterbitkan pada tahun 1815. Namun, rasio istimewa ini telah dikenal oleh Pythagoras dan sifat-sifatnya dirangkum oleh Euclid dalam bukunya yang berjudul Elements (yang diterbitkan kira-kira pada tahun 300 SM).

Nah, Rasio Emas dapat ditemukan pada bintang beraturan bersirip lima. Dengan terlebih dahulu menghitung besar sudut-sudutnya, kita dapat menggunakan kesebangunan dan menemukan Rasio Emas sebagai berikut:

Rasio Emas juga muncul secara ‘tersembunyi’ pada barisan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … . Perhatikan bahwa rasio antara suku ke-(n+1) dan suku ke-n, yaitu r₁ = 1, r₂ = 2, r₃ = 3/2, r₄ = 5/3, r₅ = 8/5, dan seterusnya, memenuhi hubungan r_n+1 = 1 + 1/r_n. Ketika n semakin besar, r_n akan menuju suatu bilangan, sebutlah r, yang memenuhi persamaan r = 1 + 1/r. Seperti pada bentuk bintang di atas, bilangan r yang memenuhi persamaan ini adalah Rasio Emas, yaitu r = (1+√5)/2 ≈ 1,618.

Ada yang menarik pada Persegi Panjang Emas yang memiliki rasio panjang : lebar = (1+√5)/2. Bila kita bagi persegi panjang ini menjadi dua bagian, yang pertama merupakan persegi dan sisanya merupakan persegi panjang yang lebih kecil, maka persegi panjang yang lebih kecil akan memiliki rasio panjang : lebar = (1+√5)/2 juga. Bila kita bagi lagi persegi panjang ini menjadi dua bagian seperti tadi, dan kita lakukan hal ini berulang-ulang, maka kita dapat memperoleh gambar berikut:

Nah, sekarang bandingkan gambar spiral di atas dengan spiral pada keong:

Mirip ya? Kalau Adik-adik melanjutkan sekolah ke SMA nanti, Adik-adik bisa mempelajari sifat-sifat Rasio Emas lebih mendalam. So pasti seru deh!

Sumber gambar:

1. http://bermatematika.net

2-3. http://www.pinterest.com

*Hendra Gunawan adalah dosen matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, sejak 1988. Pada tahun 2013, ia menggagas blog anakbertanya.com dan sejak itu mengelola blog tersebut yang menerbitkan jawaban para pakar atas berbagai pertanyaan anak-anak.